Sucesiónes Especiales

Definición
Si , entonces

Si entonces

Es decir, al expresar obtenemos , de donde

Por otra parte, aplicando la desigualdad de Bernoulli, obtenemos , de donde

Si , entonces .

Primero, consideremos que Entonces consecuentemente, . De aquí obtenemos según el Teorema , .

Por lo tanto, se sigue que en el caso general, considerando únicamente , la ecuación se saisface, esto es, .

Pero la ecuación anterior implica

Si entonces

Primero, consideramos que y escribamos Demostraremos que la sucesión es decreciente. En efecto implica Tomando en cambos miembreos la ésima raíz, obtenemos esto es,, Además, la sucesión est´acotada, puesto que Por consiguiente concluimos que es una sucesión convergente. Se tiene que demostrar que 1 es el límite de esta sucesión. Escribimos Como sabemos implica Demostraremos que la suposición conduce a una contradicción.

En efecto, la desigualdad da y como concluimos que para toda Pero esto es imposible, puesto que

Hemos demostrado que implica Pero si entonces y , esto es, Por lo tanto esto es,

Si entonces

Esta es la expresión para la suma de una progresión geométrica cuya razón es numéricamente menor que la unidad.

Es decir, tenemos y

Si y si es una sucesión de números racionales que converge a cero, entonces,

Esta es una generalización de la fórmula y se deduce fácilmente de ella.