Sucesiónes Especiales
Definición
Si
,
entonces
Si
entonces
Es
decir, al expresar obtenemos
,
de donde
Por
otra parte, aplicando la desigualdad de Bernoulli, obtenemos ,
de donde
Si
, entonces
.
Primero,
consideremos que
Entonces
consecuentemente,
.
De aquí obtenemos según el Teorema
,
.
Por
lo tanto, se sigue que en el caso general, considerando únicamente ,
la ecuación
se saisface, esto es,
.
Pero
la ecuación anterior implica
Si
entonces
Primero,
consideramos que
y escribamos
Demostraremos que la sucesión
es decreciente. En efecto
implica
Tomando en cambos miembreos la
ésima raíz, obtenemos
esto es,,
Además, la sucesión
est´acotada, puesto que
Por consiguiente concluimos que es una sucesión convergente. Se tiene
que demostrar que 1 es el límite de esta sucesión. Escribimos
Como sabemos
implica
Demostraremos que la suposición
conduce a una contradicción.
En
efecto, la desigualdad
da
y como
concluimos que
para toda
Pero
esto es imposible, puesto que
Hemos
demostrado que
implica
Pero si
entonces
y
,
esto es,
Por lo tanto
esto es,
Si
entonces
Esta es la expresión para la suma de una progresión geométrica cuya razón es numéricamente menor que la unidad.
Es
decir, tenemos
y
Si
y si
es una sucesión de números racionales que converge a cero, entonces,
Esta
es una generalización de la fórmula
y se deduce fácilmente de ella.