Divergencia al Infinito

En este apartado vamos adentrarnos un poco a la definició de lo que es un límite al infinito, con sus correspondientes especificaciones para cada caso. Además comprenderemos sus principales caarcterísitcas para que posteriormente podamos resolver ejercicios.

Definición

Para completar todo el esquema que hemos venido desarrollando, discutamos brevemente la divergencia de una función en o en .

Si no está mayorado, una función cuando, para toda sucesión de puntos de que tienda a , se tiene también En tal caso escribimos . Si diverge posotivamente en decimos que y escribimos . Finalmente, cuando decimos que

La divergencia se define análogamente. Para un conjunto no minorado , una función cuando, para toda sucesión de puntos de que tienda a , se tiene que y escribimos . Si diverge positivamente en decimos que y escribimos . Finalmente, cuando decimos que

Como ocurría con los ímites en el infinito, la divergencia en reduce a la divergencia en mediate el apropiado cambio de función.

1. Sea un conunto no minorado y una función. Cosideremos el conjunto no mayorado y la función definida porpara todo . Entonces, cada tipo de divergencia de equivale al mismo tipo de divergencia de .

El resultado anterior puede expresarse de la swiguiente forma, que resulta más intuitiva;

La divergencia en , y por tanto también en , puede reducirse a la divergencia en un
punto de la recta real:

2. Sea un conjunto no mayorado y una función. Consideremos el conjunto, que verifica , y sea la función definida por para todo . Entonces, cada tipo de divergencia deequivale al mismo tipo de divergencia de .

De forma más intuitiva, pero sin olvidar la inclusión , podemos escribir


De cualquier forma que se exprese, queda claro que la divergencia de una función en
o en puede verse como la divergencia en 0 de otra función.

Calcula los siguientes límites