Teoremas de Convergencias

En este apartado encontrarás los principales teoremos de convergencia, en cada uno de ellos podremos ver un interactivo con la demostración paso a paso, al igual que una breve explicación sobre cada uno de los teoremas

Toda sucesión convergente está acotada

La demostración no es difícil. Si la definición de convergencia nos proporciona un tal que para Tenemos por lo tanto:

Por otra parte, el conjunto es un subconjunto de no vacío y finito, luego tendrá un máximo, digamos Tenemos claramentete para todo , luego la sucesión está acodata, como queríamos demostrar.

La implicación recíproca es falsa: la sucesión está acotada pero no es convergente.

Conviene resaltar una idea que ha aparecido claramente en la demosytración anterior y que se usa muy a menido. Dada una sucesión , si para cierto probamos que el conjunto está acotado, entonces podemos asegurar que la sucesión está acotada.

De la implicación recién demostrada podemos deducir claramente algo que ya sabíamos: la sucesión no es convergente, puesto que no está acotada.

Un subsecesión de una sucesión convergente converge al mismo límite

En otras palabras

Dado , existe un número tal que la desigualdad es válida para Según la fórmula general para la subsucesiones y aplicándola para nuestro caso vemos que es en consecuencia Esto implica

Toda sucesión acotada contiene una subsucesión convergente

Sea una sucesión de reales que está acotada superiormente por una cota superior B e inferiormente por una cota superior A.

Primer caso: Si el conjunto recorrido de la sucesión dada es finito, es decir si hay solo una cantidad finita de elementos en el conjunto para algún entonces, algúno de esos números reales tiene que aparecer en infinitos lugares de la sucesión . Es decir la sucesión dada tiene una subsucesión constante, y por lo tanto tiene una subsucesión convergente como queríamos probar. (Se recuerda que toda sucesión constante es convergente y su límite es el valor de esa constante.)

Segundo caso: Si el conjunto recorrido de la sucesión dada tiene una cantidad infinita de elementos diferentes, entonces en el intervalo hay una cantidad infinita de puntos de la sucesión, todos distintos entre sí. Sea la longitud del intervalo en la recta real. El real es un número fijo positivo.

Teorema de Cauchy

Una condición necesaria y suficiente para la convergencia de la sucesión es que para toda exista un número tal que la desigualdad

sea válida para .

La demostración consiste en dos partes. En la primera demostraremos que la convergencia de una sucesión implica la condición formulada en el teorema, la llamada "condición de Cauchy"; en otras palabras, demostraremos que esta condición es una condición necesaria para la convergencia de esta sucesión. En la segunda parte demostraremos que si se satisface la condición de Cauchy, entonces la sucesión es convergente, esto es, ésta es una condición suficiente para la convergencia de la sucesión.