Teoremas
de Convergencias
En este apartado encontrarás
los principales teoremos de convergencia, en cada uno de ellos podremos ver
un interactivo con la demostración paso a paso, al igual que una breve
explicación sobre cada uno de los teoremas
Toda sucesión convergente está acotada
La
demostración no es difícil. Si
la definición de convergencia nos proporciona un
tal que
para
Tenemos por lo tanto:
Por
otra parte, el conjunto
es un subconjunto de
no
vacío y finito, luego tendrá un máximo, digamos
Tenemos claramentete
para
todo
,
luego la sucesión
está acodata, como queríamos demostrar.
La
implicación recíproca es falsa: la sucesión
está acotada pero no es convergente.
Conviene
resaltar una idea que ha aparecido claramente en la demosytración anterior
y que se usa muy a menido. Dada una sucesión ,
si para cierto
probamos que el conjunto
está acotado, entonces podemos asegurar que la sucesión
está acotada.
De
la implicación recién demostrada podemos deducir claramente algo
que ya sabíamos: la sucesión no
es convergente, puesto que no está acotada.
Un subsecesión de una sucesión convergente converge al mismo límite
En otras palabras
Dado
,
existe un número
tal
que la desigualdad
es válida para
Según la fórmula general para la subsucesiones y aplicándola
para nuestro caso vemos que es
en consecuencia
Esto implica
Toda sucesión acotada contiene una subsucesión convergente
Sea
una sucesión de reales que está acotada superiormente por una
cota superior B
e inferiormente por una cota superior A.
Primer caso: Si el conjunto recorrido de la sucesión dada es finito,
es decir si hay solo una cantidad finita de elementos en el conjunto
para algún
entonces, algúno de esos números reales tiene que aparecer en
infinitos lugares de la sucesión
.
Es decir la sucesión dada tiene una subsucesión constante, y por
lo tanto tiene una subsucesión convergente como queríamos probar.
(Se recuerda que toda sucesión constante es convergente y su límite
es el valor de esa constante.)
Segundo
caso: Si el conjunto recorrido de la sucesión dada tiene una cantidad
infinita de elementos diferentes, entonces en el intervalo
hay una cantidad infinita de puntos de la sucesión, todos distintos entre
sí. Sea
la
longitud del intervalo
en la recta real. El real
es
un número fijo positivo.
Teorema de Cauchy
Una
condición necesaria y suficiente para la convergencia de la sucesión
es que para toda
exista un número
tal
que la desigualdad
sea
válida para .
La demostración consiste en dos partes. En la primera demostraremos que la convergencia de una sucesión implica la condición formulada en el teorema, la llamada "condición de Cauchy"; en otras palabras, demostraremos que esta condición es una condición necesaria para la convergencia de esta sucesión. En la segunda parte demostraremos que si se satisface la condición de Cauchy, entonces la sucesión es convergente, esto es, ésta es una condición suficiente para la convergencia de la sucesión.