Sucesiones
Divergentes
En este apartado empezamos
prestando atención a determinadas sucesiones no acotadas de números
reales, que llamaremos “sucesiones divergentes”. Adaptaremos las
reglas sobre cálculo de límites de sucesiones, para contemplar
también la posibilidad de manejar sucesiones divergentes.
Definición
Hasta ahora, el estudio de las sucesiones de números reales se ha reducido prácticamente a considerar sucesiones acotadas, que ciertamente son las más útiles. Sin embargo, hay preguntas sobre sucesiones acotadas, o incluso sobre sucesiones convergentes, que no tienen aún respuesta satisfactoria, precisamente porque no hemos prestado más atención a las sucesiones no acotadas
Decimos
que una sucesión
diverge positivamente cuado, para cada número real
,
se puede encontrar un número natural
tal
que, para
,
se tenga
.En
tal caso, se dice también que
tiende a
y
escribimos
.Simbolicamente:
Para
deecirlo de otra forma equivalente, es claro que si,
y solo si, para todo
,
se tiene que el conjunto
es
finito.
Análogamente,
decimos que
diverge negativamente, o bien que
tiende
a
,
y escribimos
,
cuando para cada número real
existe
verificando que
para
:
Equivalentemente,
cuando el conjunto
es
finito, para todo
Decimos
simplemente que una sucesión diverge,
o es una sucesión divergente, cuando la sucesión
diverge
positivamente. En tal caso, se dice también que
tiende
a
y escribimos
.
Por lo tantoo:
Se
debe quedar claro desde el principio que, para una sucesión de números
reales, ser divergente no es lo contrario de ser convergente. Cierto que una
sucesión divergente no puede ser convergente, puesto que ni siquiera
está acotada, pero hay sucesiones que no son convergentes ni divergentes,
como ,
sin ir más lejos.
Ejemplos de sucesiones que no son convergentes