Sucesiones Divergentes

En este apartado empezamos prestando atención a determinadas sucesiones no acotadas de números reales, que llamaremos “sucesiones divergentes”. Adaptaremos las reglas sobre cálculo de límites de sucesiones, para contemplar también la posibilidad de manejar sucesiones divergentes.

Definición

Hasta ahora, el estudio de las sucesiones de números reales se ha reducido prácticamente a considerar sucesiones acotadas, que ciertamente son las más útiles. Sin embargo, hay preguntas sobre sucesiones acotadas, o incluso sobre sucesiones convergentes, que no tienen aún respuesta satisfactoria, precisamente porque no hemos prestado más atención a las sucesiones no acotadas

Decimos que una sucesión diverge positivamente cuado, para cada número real , se puede encontrar un número natural tal que, para , se tenga .En tal caso, se dice también que tiende a y escribimos .Simbolicamente:

Para deecirlo de otra forma equivalente, es claro que si, y solo si, para todo , se tiene que el conjunto es finito.

Análogamente, decimos que diverge negativamente, o bien que tiende a , y escribimos , cuando para cada número real existe verificando que para :

Equivalentemente, cuando el conjunto es finito, para todo

Decimos simplemente que una sucesión diverge, o es una sucesión divergente, cuando la sucesión diverge positivamente. En tal caso, se dice también que tiende a y escribimos . Por lo tantoo:

Se debe quedar claro desde el principio que, para una sucesión de números reales, ser divergente no es lo contrario de ser convergente. Cierto que una sucesión divergente no puede ser convergente, puesto que ni siquiera está acotada, pero hay sucesiones que no son convergentes ni divergentes, como , sin ir más lejos.

Ejemplos de sucesiones que no son convergentes